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목록2017/03 (25)
수악중독
두 수열 $\{a_n\}, \;\; \{b_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1=4$(나) 좌표평면에서 직선 $x=a_n \; (n=1, \; 2, \; 3, \; \cdots )$ 이 두 곡선 $y=\log_2 x, \; y= \log_4 x$ 와 만나는 점의 $y$ 좌표는 각각 $b_n, \; b_{n+1}$ 이다. 부등식 $k < \sum \limits_{n=1}^{10} \log_2 \dfrac{a_n}{b_n} < k+1$ 을 만족시키는 자연수 $k$ 의 값을 구하시오. 정답
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 역함수 $g(x)$ 를 갖고 $$f(1)=2, \;\; f(2)=4, \;\; \displaystyle \int_1^2 f(x) dx = \dfrac{8}{3}$$ 을 만족시킨다. 함수 $f \left ( e^x -1 \right )$ 의 역함수를 $h(x)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_2^4 \dfrac{g'(x)}{h'(x)} dx = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $19$
이차함수 $f(x)=ax^2-bx$ 에 대하여 방정식 $|f(f(x))|=2$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $5$ 일 때, $(b+2)^4$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 양수이다.) 정답 $64$
집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \;4, \; 5\}$ 에 대하여 $X$ 에서 $X$ 로의 일대일 대응인 함수 $f$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f\circ f = I$(나) 집합 $X$ 의 어떤 원소 $x$ 에 대하여 $f(x)=2x$ 이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $I$ 는 항등함수이다.) ㄱ. $f(1)=f^{-1}(1)$ㄴ. $f(1)=5$ 이면 $f(3)=3$ 이다.ㄷ. 함수 $f$ 의 개수는 $8$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 인 원을 밑면으로 하는 원기둥 모양의 나무막대 $\rm A$ 와 한 변의 길이가 $\sqrt{2}$ 인 정사각형을 밑면으로 하는 사각기둥 모양의 나무막대 $\rm B$ 가 있다.두 나무막대가 중심축이 $30^{\rm o}$ 를 이루며 교차할 때, 두 나무막대의 공통 부분의 부피는 $a\pi +b$ 이다. $ 10a+3b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 유리수이고, 나무막대 $\rm B$ 의 중심축에 수직인 단면의 두 대각선 중 하나는 두 나무막대의 중심축을 포함하는 평면과 수직이며, 다른 하나는 중심축을 포함하는 평면에 포함된다.) 정답 $24$
그림과 같이 중심이 ${\rm O_1}(1, \; 0), \; {\rm O_2}(-1, \; 0), \; {\rm O_3}(0, \; 3)$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 세 원을 각각 $C_1, \; C_2, \; C_3$ 이라 하자. 점 $\rm A, \; O, \; B$ 의 좌표는 각각 $(2, \; 0), \; (0, \; 0), \; (0, \; 4)$ 이다. 세 동점 $\rm P, \; Q, \; R$ 의 이동 경로는 다음과 같다. $\rm P$ : 점 $\rm A$ 에서 출발하여 원 $C_1$ 을 따라 시계 반대 방향으로 매초 $1$ 의 속력으로 이동$\rm Q$ : 점 $\rm O$ 에서 출발하여 원 $C_2$ 를 따라 시계 반대 방향으로 매초 $1$ 의 속력으로 이동$\rm R$ : 점..
그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 의 두 변 $\rm BC, \; DC$ 위에 $\angle {\rm PDC} = \angle {\rm QBC} = \theta$ 가 되도록 점 $\rm P$ 와 $\rm Q$ 를 각각 잡고 선분 $\rm BQ$ 와 선분 $\rm DP$ 의 교점을 $\rm R$ 라 하자. 사각형 $\rm RPCQ$ 에 내접하는 원 $C_1$ 의 반지름의 길이를 $r_1$, 삼각형 $\rm RBP$ 에 내접하는 원 $C_2$ 의 반지름의 길이를 $r_2$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0^+}\dfrac{r_2}{r_1}$ 의 값은?① $\dfrac{1}{4}$ ② $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ ③ $\dfrac{1}{..
접선의 방정식 이계도 함수를 이용한 함수의 극대와 극소 판별법 곡선의 오목과 볼록, 변곡점 함수의 그래프 개형 그리기 함수의 최댓값과 최솟값 방정식에의 활용 부등식에의 활용 이전 다음
자연수 $m$ 에 대하여 집합 $A_m$ 을 $$A_m = \left \{ (a, \; b) \; \middle | \;2^a = \dfrac{m}{b}, \; a, \; b\text{는 자연수} \right \}$$라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?ㄱ. $A_4 = \{(1, \; 2), \; (2, \; 1) \}$ㄴ. 자연수 $k$ 에 대하여 $m=2^k$ 이면 $n(A_m)=k$ 이다.ㄷ. $n(A_m)=1$ 이 되도록 하는 두 자리 자연수 $m$ 의 개수는 $23$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
$2$ 이상의 자연수 $x$ 에 대하여 $$\log_x n \;\; \left ( n \text{은 } 1 \le n \le 300 \text{ 인 자연수} \right )$$ 가 자연수인 $n$ 의 개수를 $A(x)$ 라 하자. 예를 들어, $A(2)=8, \; A(3)=5$ 이다.집합 $P=\{2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7, \; 8\}$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $X$ 에 대하여 집합 $X$ 에서 $X$ 로의 대응 $f$ 를 $$f(x)=A(x) \;\; \left ( x \in X \right )$$ 로 정의하면 어떤 대응 $f$ 는 함수가 된다. 함수 $f$ 가 일대일 대응이 되도록 하는 집합 $X$ 의 개수를 구하시오. 정답 $7$