수악중독

공차가 $0$ 이 아닌 등차수열 $\{a_n\}$ 과 공비가 $1$ 이 아닌 등비수열 $\{b_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_2=b_4, \;\; a_5 = b_7, \;\; a_9=b_{10}$(나) $\sum \limits_{k=1}^{10} \left ( b_{3k-2} \right ) ^2 = \dfrac{135}{112} \sum \limits_{k=1}^{20} b_{3k-2}$ $\sum \limits_{k=1}^{24} a_k$ 의 값을 구하시오. 정답 $195$

자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면에서 연립부등식 $$ \left \{ \begin{array}{l} x>0 \\ y>0 \\ y

첫째항이 $-19$ 이고 공차가 양수인 등차수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $S_2 = -35$ 일 때, $a_3 = -13$ 이다.ㄴ. $S_9 = S_{11}$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n a_{n+1}} = -\dfrac{1}{38}$ 이다.ㄷ. $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n a_{n+1}} = -\dfrac{1}{57}$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{|a_n a_{n+1}|}=\dfrac{56}{57}$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ..

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \dfrac{a \ln x}{x}$ 가 있다. 곡선 $y=f(x)$ 에 접하는 직선 중 $y$ 절편이 최대인 직선을 $l$ 이라 할 때, 직선 $l$ 의 기울기가 $-1$ 이다. 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $l$ 및 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 $\dfrac{q}{p}e^3$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 는 양수이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $31$

다음 조건을 만족시키는 세 자연수 $a, \; b, \; c$ 의 순서쌍 $(a, \; b, \; c)$ 의 개수를 구하시오. (가) $a+b+c=10$(나) $a \le 5, \; \; b \le 6, \;\; c \le 7$ 정답 $26$

열린 구간 $\left ( 0, \; \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에서 정의된 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 이 구간에 속하는 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x)>0$(나) $f(x)=2\sqrt{f(x)}\sin x - \displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^x \dfrac{f'(t) \sin t}{\sqrt{f(t)}} dt$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f \left (\dfrac{\pi}{6} \right ) =1 $ㄴ. $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} = \cos x$ㄷ. $f \left (\dfrac{\pi}{3} \right ) = \dfrac{2+ \sqrt{3}}{2}$ ① ..

첫째항이 $2$ 이고 공비가 $\dfrac{5}{4}$ 인 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $f(n)$ 을 다음과 같이 정의하자. $$f(n) = \left \{ \begin{array}{ll}0&\left ( \left [ \log_2 a_{n+1} \right ] = \left [ \log_2 a_n \right ] \right ) \\ 1&\left ( \left [ \log_2 a_{n+1} \right ] \ne \left [ \log_2 a_n \right ] \right ) \end{array} \right .$$ $f(1)+f(2)+f(3)+ \cdots + f(100)$ 의 값을 구하시오. (단, $[x]$ 는 $x$ 보다 크지 않은 최대의 정수이고, $\log 2 = 0.3$ 으로..

수열 $\{a_n\}$ 은 첫째항이 $2$, 공비가 $2$ 인 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$ 은 첫째항이 $5$, 공차가 $3$ 인 등차수열이다. 두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 의 공통인 항을 작은 것부터 차례로 나열한 수열을 $\{c_n\}$ 이라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $c_1 = a_3$ㄴ. $c_n = \sum \limits_{k=1}^{2n}a_k+2\; \; (n=1, \; 2, \; 3, \; \cdots)$ㄷ. $c_k=b_l$ 을 만족시키는 두 자연수 $k, \; l$ 에 대하여 $c_{k+2} = b_{16l+10}$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

함수 $f(x) = \left \{ \begin{array}{ll}\ln (x+1) & (-1

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형으로 이루어진 바둑판 모양의 도로망이 있다. 점 $\rm P$ 는 한 번 움직일 때마다 도로망을 따라 $1$만큼 이동하며, 각 갈림길에서 네 개의 방향 중 어느 방향으로도 움직일 수 있다. 점 $\rm O$ 의 위치에 있던 점 $\rm P$ 가 $6$ 번 움직인 후, 처음으로 점 $\rm O$ 로 되돌아오는 경우의 수를 구하시오. 정답 $176$