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목록2017/04 (9)
수악중독
그림과 같이 $\overline{\rm AB}=4, \;\; \overline{\rm BC}=3$, $\angle{\rm B}=90^{\rm o}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 의 변 $\rm AB$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$ 인 원 $O$ 가 있다. $\overline{\rm AP}=x\;\; (0
자연수 $n$ 에 대하여 $0$ 부터 $n$ 까지의 정수가 하나씩 적힌 $(n+1)$ 개의 공이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 한 개의 공을 꺼내어 공에 적힌 수를 확인하고 다시 넣는 과정을 $5$ 번 반복할 때, 확인한 $5$ 개의 수가 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 $a_n$ 이라 하자. (가) 꺼낸 공에 적힌 수는 먼저 꺼낸 공에 적힌 수보다 작지 않다.(나) 세 번째 꺼낸 공에 적힌 수는 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수보다 $1$ 이 더 크다. $\sum \limits_{n=1}^{18} \dfrac{a_n}{n+2}$ 의 값을 구하시오. 정답 $760$
그림과 같이 길이가 $1$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overline{\rm BP}=\overline{\rm BC}$ 가 되도록 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm C$를 잡고 $\overline{\rm AC}=\overline{\rm AD}$ 가 되도록 선분 $\rm AP$ 위의 점 $\rm D$ 를 잡는다. $\angle {\rm PAB}=\theta$ 에 대하여 선분 $\rm CD$ 를 반지름으로 하고 중심각의 크기가 $\angle {\rm PCD}$ 인 부채꼴의 넓이를 $S(\theta)$, 선분 $\rm CP$ 를 반지름으로 하고 중심각의 크기가 $\angle {\rm PCD}$ 인 부채꼴의 넓이를 $T(..
좌표평면에서 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 두 곡선 $y=3^x-n$, $y=\log_3(x+n)$ 으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 자연수인 점의 개수가 $4$ 가 되도록 하는 자연수 $n$ 의 개수를 구하시오. 정답 $16$
최고차항의 계수가 $1$ 인 다항함수 $f(x)$ 와 $$g(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $f(x)=0$ 의 실근은 $0$ 과 $2$ 뿐이고 허근은 존재하지 않는다. (나) $\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)^3}{f(x)}$ 이 존재한다.(다) 함수 $\left | \dfrac{g(x)}{x} \right |$ 는 $x=\dfrac{5}{4}$ 에서 연속이고 미분가능하지 않다. 함수 $g(x)$ 의 극솟값을 $k$ 라 할 때, $27k$ 의 값을 구하시오. 정답 $50$
좌표공간에서 평면 $y=\left ( \tan 75^{\rm o} \right ) x $ 위의 도형 $S$ 를 벡터 $\overrightarrow{v}=(1, \; -1, \; 0)$ 에 평행한 광선으로 비추었더니, $zx$ 평면에 나타난 도형 $S$ 의 그림자는 중심이 $(4, \;0, \; 0)$ 이고 반지름의 길이가 $3$ 인 원이 되었다. 도형 $S$ 의 넓이는? ① $3\sqrt{3}\pi$ ② $4\sqrt{3}\pi$ ③ $\dfrac{9\sqrt{6}}{4}\pi$ ④ $3\sqrt{6}\pi$ ⑤ $\dfrac{9\sqrt{6}}{2}\pi$ 정답 ④
자연수 $n$ 에 대하여 함수 $y=f(x)$ 를 매개변수로 $t$ 로 나타내면 $$\left \{ \begin{array}{ll} x = e^t \\ y= \left (2t^2+nt+n \right ) e^t \end{array} \right .$$ 이고, $x \ge e^{-\frac{n}{2}}$ 일 때, 함수 $y=f(x)$ 는 $x=a_n$ 에서 최솟값 $b_n$ 을 갖는다. $\dfrac{b_3}{a_3}+\dfrac{b_4}{a_4} + \dfrac{b_5}{a_5} + \dfrac{b_6}{a_6}$ 의 값은? ① $\dfrac{23}{2}$ ② $12$ ③ $\dfrac{25}{2}$ ④ $13$ ⑤ $\dfrac{27}{2}$ 정답 ②
좌표공간의 점 $\rm A(5, \; 0, \; 0)$ 에서 구 $S\; : \; (x-2)^2+y^2+(z-4)^2=4$ 에 그은 접선의 접점이 나타내는 도형을 $C$ 라 할 때, $C$ 위의 두 점 $\rm P, \;Q$ 가 $\overline{\rm PQ}=1$ 을 만족시킨다. $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \left ( \overrightarrow{\rm OP} + \overrightarrow{\rm OQ} \right )$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.)① $\dfrac{206}{5}$ ② $44$ ③ $\dfrac{234}{5}$ ④ $\dfrac{248}{5}$ ⑤ $\dfrac{262}{..
$1$부터 $15$까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 검은 블록 $6$ 개와 흰 블록 $9$ 개가 있다. 이 $15$ 개의 블록을 일렬로 빈틈없이 늘어 놓을 때, 색이 달리지는 곳의 개수를 $a$ 라 하자. 예를 들어, 그림과 같이 $15$ 개의 블록을 일렬로 빈틈없이 늘어 놓은 경우 $a=5$ 이다. 이와 같이 $15$ 개의 블록을 일렬로 빈틈없이 늘어 놓는 모든 경우에 대하여 $a$ 값의 합은 $n \times 14!$ 이다. 자연수 $n$ 의 값은? ① $100$ ② $104$ ③ $108$ ④ $112$ ⑤ $116$ 정답 ③