수악중독

$0 \le t \le 2 \pi$ 인 실수 $t$ 에 대하여 함수 $$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{\sqrt 3 x + \sin 2x + k}&{\left( {0 \le x < t} \right)}\\{\sqrt 3 x + \sin 2x}&{\left( {t \le x \le 2\pi } \right)}\end{array}} \right.$$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 열린 구간 $(0, \; 2\pi)$ 에서 함수 $g(t)$ 의 미분가능하지 않은 점의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 실수 $k$ 의 최댓값은 $p\sqrt{3}\pi +q$ 이다. $24 \times (p+q)$ 의 값을 구하시오. (단, $0

최고차항의 계수가 $-1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(0)=f'(0)=0$(나) 방정식 $f(x)=0$ 은 양의 실근을 갖는다. 양수 $t$ 와 함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를$$g(x) = \left \{ {\begin{array}{ll}{ f(x)}&{(x \le 0, \; x \ge t)}\\{\dfrac{f(t)}{t}x}&{\left( {0 < x < t} \right)}\end{array}} \right.$$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 가 미분가능하지 않은 실수 $x$ 가 오직 한 개 존재하도록 하는 모든 양수 $t$ 의 값의 합이 $\dfrac{15}{2}$ 일 때, $f(-4)$ 의 값을 구하시오. 정답 $144$

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=\displaystyle \int_1^x \dfrac{\ln t}{1+t} dt$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f(x)+f \left ( \dfrac{1}{x} \right )$$ 이라 하자. $\sum \limits_{k=1}^8 g \left ( e^k \right )$ 의 값을 구하시오. 정답 $102$

그림과 같이 $x$ 좌표가 $1, \;2,\;3,\; \cdots, \; n$ 인 $x$ 축 위의 점에서 $y$ 축에 평행한 직선을 그어 곡선 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ 과 만나는 점을 꼭짓점으로 하는 직사각형을 $n$ 개 만든다. 이 직사각형들이 곡선 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ 에 의하여 잘려진 윗부분들의 넓이의 합을 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{n^2+1}=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다) 정답 $17$

좌표평면 위에 두 점 $\rm A(-1, \; 3), \;\; B(1, \; -3)$ 과 영역 $D \;: \; 2|x|+|y| \ge k$ 가 있다. 명제 '영역 $D$ 에 속하는 어떤 점 $\rm P$ 에 대하여 $\angle \rm APB=90^o$ 이다.' 가 참이 되도록 하는 자연수 $k$ 의 개수를 구하시오. 정답 $7$