수악중독

$0 \le t \le 2 \pi$ 인 실수 $t$ 에 대하여 함수 $$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{\sqrt 3 x + \sin 2x + k}&{\left( {0 \le x < t} \right)}\\{\sqrt 3 x + \sin 2x}&{\left( {t \le x \le 2\pi } \right)}\end{array}} \right.$$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 열린 구간 $(0, \; 2\pi)$ 에서 함수 $g(t)$ 의 미분가능하지 않은 점의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 실수 $k$ 의 최댓값은 $p\sqrt{3}\pi +q$ 이다. $24 \times (p+q)$ 의 값을 구하시오. (단, $0

최고차항의 계수가 $-1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(0)=f'(0)=0$(나) 방정식 $f(x)=0$ 은 양의 실근을 갖는다. 양수 $t$ 와 함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를$$g(x) = \left \{ {\begin{array}{ll}{ f(x)}&{(x \le 0, \; x \ge t)}\\{\dfrac{f(t)}{t}x}&{\left( {0 < x < t} \right)}\end{array}} \right.$$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 가 미분가능하지 않은 실수 $x$ 가 오직 한 개 존재하도록 하는 모든 양수 $t$ 의 값의 합이 $\dfrac{15}{2}$ 일 때, $f(-4)$ 의 값을 구하시오. 정답 $144$

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=\displaystyle \int_1^x \dfrac{\ln t}{1+t} dt$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f(x)+f \left ( \dfrac{1}{x} \right )$$ 이라 하자. $\sum \limits_{k=1}^8 g \left ( e^k \right )$ 의 값을 구하시오. 정답 $102$

그림과 같이 $x$ 좌표가 $1, \;2,\;3,\; \cdots, \; n$ 인 $x$ 축 위의 점에서 $y$ 축에 평행한 직선을 그어 곡선 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ 과 만나는 점을 꼭짓점으로 하는 직사각형을 $n$ 개 만든다. 이 직사각형들이 곡선 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ 에 의하여 잘려진 윗부분들의 넓이의 합을 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{n^2+1}=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다) 정답 $17$

좌표평면 위에 두 점 $\rm A(-1, \; 3), \;\; B(1, \; -3)$ 과 영역 $D \;: \; 2|x|+|y| \ge k$ 가 있다. 명제 '영역 $D$ 에 속하는 어떤 점 $\rm P$ 에 대하여 $\angle \rm APB=90^o$ 이다.' 가 참이 되도록 하는 자연수 $k$ 의 개수를 구하시오. 정답 $7$

실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=-x+t+1$ 이 두 곡선 $y=\ln x, \; y=e^x$ 과 만나는 점을 각각 $\rm P, \; Q$ 라 하고, 두 점 $\rm P, \; Q$ 의 $x$ 좌표를 각각 $f(t), \; g(t)$ 라 하자. 두 함수 $f(t), \; g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\dfrac{k}{p}$ 의 값은? (가) $\lim \limits_{t \to e} f(t)=e \;\;(f(t)>0)$(나) $\lim \limits_{t \to e} \dfrac{(t+1)g(t)-k}{f(t)-e}=p$ (단, $k, \; p$ 는 상수) ① $e$ ② $\dfrac{e}{2}$ ③ $\dfrac{e}{3}$ ④ $\dfrac{e}{4}$ ⑤ $\dfrac{e}{5}$..

그림과 같이 원에 내접하는 정삼각형을 서로 합동인 세 삼각형으로 나눈 도형이 있다. 이 도형의 $6$개 영역에 서로 다른 $6$ 가지 색을 모두 사용하여 색칠하는 경우의 수를 구하시오. (단, 한 영역에는 한 가지 색을 색칠하고, 회전하여 일치하는 경우는 같은 것으로 본다.) 정답 $240$

어느 제과점에서 생산하는 식빵의 무게 $X$ 는 평균이 $m$, 표준편차가 $8$ 인 정규분포를 따른다고 한다. ${\rm P}(2m-a \le X \le a) =0.9544$ 일 때, 이 제과점에서 생산하는 식빵 중에서 임의로 추출한 $16$ 개의 식빵의 무게의 표본평균을 $\overline{X}$ 라 하자. $10000 \times {\rm P} \left ( \left | \overline{X}-a+12 \right | \le 1 \right )$ 의 값을 위의 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. (단, $a$ 는 $m$ 보다 큰 상수이고, 무게의 단위는 $\rm g$ 이다.) 정답 $651$

그림과 같이 원 $x^2+y^2=1$ 위의 점 $\rm P$ 와 두 점 $\rm A(0, \; -1), \;\; B(1, \;0)$ 에 대하여 점 $\rm A$ 와 점 $\rm P$ 를 지나는 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm R$ 라 하자. $\angle \rm POB=\theta$ 라 하고 삼각형 $\rm ORP$ 의 넓이를 $T(\theta)$, 부채꼴 $\rm OBP$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{T(\theta)}{S(\theta)}=\alpha$ 이다. $100 \alpha$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\rm P$ 는 제1사분면 위의 점이고, $\rm O$ 는 원점이다.)정답 $100$

좌표공간에서 한 변의 길이가 $2$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 점 $\rm A, \; B$ 는 평면 $x+y-z=1$ 위에 있고, 직선 $\rm AB$ 는 $yz$ 평면과 평행하다.(나) 평면 $\rm ABC$ 는 평면 $x+y-z=1$ 과 수직이다. 삼각형 $\rm ABC$ 의 평면 $2x+y+z=0$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$ 라 할 때, $60 \times S^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $80$