수악중독

자연수 $k$ 에 대하여 수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1 = 6k$ (나) $a_{n+1}= \begin{cases} a_n -2 & (n은 \; 홀수) \\ a_n -1 & (n은 \; 짝수) \end{cases}$ $a_n >0$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최댓값 $M$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^M a_n=1220$ 일 때, $a_{10}$ 의 값을 구하시오. 정답 $46$

함수 $f(x)=\left (x^2+2x \right ) e^{-x}$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \; f(t))$ 에서의 접선의 방정식을 $y=g(x)$ 라 할 때, 함수 $h(x)$ 를 $h(x)=|f(x)-g(x)|$ 라 하자. 함수 $h(x)$ 가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 실수 $t$ 의 값을 집합으로 나타내면 $\{ t \; | \; a

그림과 같이 $3$ 개의 주머니에 모양과 크기가 같은 공이 각각 $3$ 개씩 들어 있고, 각 주머니에 있는 공에는 $1, \;2, \;3$ 의 숫자가 한 개씩 적혀 있다. 각 주머니에서 임의로 공을 하나씩 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적힌 세 숫자가 모두 다르면 상품을 받기로 하였다. 갑이 먼저 각 주머니에서 임의로 공을 꺼낸 다음, 을이 각 주머니에서 임의로 공을 한 개씩 꺼낸다. 갑이 상품을 받지 못했을 때, 을이 상품을 받았을 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, 갑이 꺼낸 공은 다시 넣지 않고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $17$

그림과 같이 점 $\rm A$ 를 꼭짓점으로 하고 중심이 $\rm O$, 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C$ 를 밑면으로 하며 높이가 $2$ 인 원뿔이 있다. 네 점 $\rm P, \;Q, \;R, \;S$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 $\rm P$ 는 원 $C$ 위에 있다.(나) $\overline{\rm OQ}=2$ 이고 직선 $\rm OQ$ 는 평면 $\rm OAP$ 와 수직이다.(다) 점 $\rm R$ 는 선분 $\rm AP$ 를 $1:2$ 로 외분하는 점이다.(라) 점 $\rm S$ 는 선분 $\rm OQ$ 와 원 $C$ 의 교점이다. $\overrightarrow{\rm SA} \cdot \overrightarrow{\rm QR}$ 의 값을 구하시오. 정답 $10$

실수 $t$ 와 두 함수 $f(x)=x^4-3x^2, \;\; g(x)=2tx-t^2$ 에 대하여 함수 $|f(x)-g(x)|$ 가 미분가능하지 않은 실수 $x$ 의 개수를 $h(t)$ 라 하자. 두 집합 $$A=\{a \; | \; 함수 \; h(t)는 \; t=a에서 \; 불연속이다.\}$$ $$B=\left \{ b \; \middle | \; \lim \limits_{t \to b} h(t)의 \; 값이 \; 존재하지 \; 않는다. \right \}$$ 에 대하여 $n(A)+n(B)$ 의 값을 구하시오 정답 $9$ $y$ 값에 따른 두 함수 그래프의 교점의 개수를 나타내는 그림입니다. 참고하세요

곡선 $f(x)=\dfrac{x}{e^{x-2}}$ 위의 점 ${\rm P}(t, \; f(t)) \;(t>0)$ 에 대하여 점 $\rm P$ 를 지나고 직선 $\rm OP$ 에 수직인 직선이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\rm Q, \; R$ 라 하자. 두 선분 $\rm OQ, \; OR$ 의 길이 중 크지 않은 값을 $g(t)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_1^2 g(t) dt = pe -q$ 이다. $20pq$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $p, \;q$ 는 유리수이다.) 정답 $80$

두 함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+1}}{1+x^{2n}}, \;\; g(x)=x+a$$ 의 그래프의 교점의 개수를 $h(a)$ 라 할 때, $h(0)+\lim \limits_{a \to 1+} h(a)$ 의 값은? (단, $a$ 는 실수이다.) ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ④

그림과 같이 $\overline{\rm BC}=1$, $\angle \rm A = \dfrac{\pi}{2}$, $\angle \rm B=\theta \; \left ( 0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right )$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm AC$ 위의 점 $\rm D$ 에 대하여 선분 $\rm AD$ 를 지름으로 하는 원이 선분 $\rm BC$와 접할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{\overline{\rm CD}}{\theta ^3} = k$ 라 하자. $100k$ 의 값을 구하시오. 정답 $25$

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 넓이가 $27$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있고, 평면 $\beta$ 위에 넓이가 $35$ 인 삼각형 $\rm ABD$ 가 있다. 선분 $\rm BC$ 를 $1:2$ 로 내분하는 점을 $\rm P$ 라 하고 선분 $\rm AP$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\rm Q$ 라 하자. 점 $\rm D$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하면 점 $\rm Q$ 는 선분 $\rm BH$ 의 중점이다. 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 이루는 각을 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $47$

등차수열 $\{a_n\}$ 과 공비가 $1$ 보다 작은 등비수열 $\{b_n\}$ 이 $$ a_1 + a_8 = 8, \;\; b_2b_7=12, \;\; a_4=b_4, \;\; a_5=b_5$$ 를 모두 만족시킬 때, $a_1$ 의 값을 구하시오. 정답 $18$