수악중독

$f(1)=1$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=x^2$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(-x)=f(x)$ 이다.(나) $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^n \left \{ f \left ( \dfrac{k}{n} \right ) - g \left ( \dfrac{k}{n} \right ) \right \} = 27$ 두 곡선 $y=f(x)$ 와 $y=g(x)$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. 정답 $54$

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 와 점 $\rm A$ 를 지나고 직선 $\rm BC$ 와 평행한 직선 $l$ 이 있다. 자연수 $n$ 에 대하여 중심 ${\rm O}_n$ 이 변 $\rm AC$ 위에 있고 반지름의 길이가 $\sqrt{3} \left (\dfrac{1}{2} \right ) ^{n-1}$ 인 원이 직선 $\rm AB$ 와 직선 $l$ 에 모두 접한다. 이 원과 직선 $\rm AB$ 가 접하는 점을 ${\rm P}_n$ , 직선 ${\rm O}_n{\rm P}_n$ 과 직선 $l$ 이 만나는 점을 ${\rm Q}_n$ 이라 하자. 삼각형 ${\rm BO}_n{\rm Q}_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \inf..

다항함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^4}=1$(나) $f(1)=f'(1)=1$ $-1 \le n \le 4$ 인 정수 $n$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f(x-n)+n \; (n \le x < n+1)$$ 이라 하자. 함수 $g(x)$ 가 열린구간 $(-1, \;5)$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle \int_0^4 g(x)dx=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \;q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $137$

함수 $f(x)=\dfrac{1}{x^2+x}$ 에 대해서 $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} f \left (1+ \dfrac{2k}{n} \right )$ 의 값은? ① $\ln \dfrac{9}{8}$ ② $\ln \dfrac{5}{4}$ ③ $\ln \dfrac{11}{8}$ ④ $\ln \dfrac{3}{2}$ ⑤ $\ln \dfrac{13}{8}$ 정답 ④

두 곡선 $y=2^x, \; y=-4^{x-2}$ 이 $y$ 축과 평행한 한 직선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, \;B$ 라 하자. $\overline{\rm OA}= \overline{\rm OB} $ 일 때, 삼각형 $\rm AOB$ 의 넓이는? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $64$ ② $68$ ③ $72$ ④ $76$ ⑤ $80$ 정답 ①

닫힌 구간 $[0, 2\pi]$ 에서 $x$ 에 대한 방정식 $\sin x - x \cos x -k=0$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 모든 정수 $k$ 의 값의 합은?① $-6$ ② $-3$ ③ $0$ ④ $3$ ⑤ $6$ 정답 ⑤

미분가능한 함수 $f(x)$ 와 $f(x)$ 의 역함수 $g(x)$ 가 $g \left ( 3f(x)-\dfrac{2}{e^x+e^{2x}} \right) = x$ 를 만족시킬 때, 다음은 $g' \left ( \dfrac{1}{2} \right )$ 의 값을 구하는 과정이다. $g \left ( 3f(x)-\dfrac{2}{e^x +e^{2x}} \right ) =x$ 에서$3f(x)-\dfrac{2}{e^x+e^{2x}} = g^{-1}(x)$ 이므로 $f(x)=\dfrac{1}{(가)}$이다.$f(x)$ 의 도함수를 구하면 $f'(x)=\dfrac{-e^x-2e^{2x}}{(가)^2}$이다. $f(0)=\dfrac{1}{2}$ 이므로 $g \left (\dfrac{1}{2} \right ) = 0$..

다음 조건을 만족시키는 세 자연수 $a, \; b, \; c$ 의 모든 순서쌍 $(a, \;b, \;c)$의 개수는? (가) 세 수 $a, \; b, \; c$ 의 합은 짝수이다.(나) $a \le b \le c \le 15$ ① $320$ ② $324$ ③ $328$ ④ $332$ ⑤ $336$ 정답 ⑤

그림과 같이 삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 꼭짓점 $\rm C$ 에서 선분 $\rm AB$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. 삼각형 $\rm ABC$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\overrightarrow{\rm CA} \cdot \overrightarrow{\rm CH}$ 의 값은? (가) 점 $\rm H$ 가 선분 $\rm AB$ 를 $2:3$ 으로 내분한다.(나) $\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AC}=40$(다) 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이는 $30$ 이다. ① $36$ ② $37$ ③ $38$ ④ $39$ ⑤ $40$ 정답 ①

두 함수 $f(x)=\ln x, \; g(x)=\ln \dfrac{1}{x}$ 의 그래프가 만나는 점을 $\rm P$ 라 할 때 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 점 $\rm P$ 의 좌표는 $(1, \;0)$ 이다.ㄴ. 두 곡선 $y=f(x), \; y=g(x)$ 위의 점 $\rm P$ 에서의 각각의 접선은 서로 수직이다.ㄷ. $t>1$ 일 때, $ -1 < \dfrac{f(t)g(t)}{(t-1)^2}