파푸스의 중선정리

파푸스의 중선정리

임의의 삼각형 \(\rm ABC\) 에서 변 \( \rm BC\) 의 중점을 \(\rm M\) 이라 할 때, 다음이 성립한다. \[\overline{\rm AB}^2 + \overline{\rm AC}^2 = 2 \left ( \overline{\rm AM}^2 + \overline{\rm BM}^2 \right ) \]

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위 그림과 같이 변 \( BC\) 가  \(x\) 축 위에 있고, 변 \( \rm BC\) 의 중점 \(\rm M\) 을 원점 \(\rm O\) 로 하는 좌표평면을 생각하자. 그러면 \[{\rm A} (a, \;b), \; {\rm B}(-c, \; 0), \; {\rm C}(c, \;0), \; {\rm M}(0, \;0), \;\;(단, \; a 는 \; 임의의 \; 실수, \; b>0, \; c>0)\] 과 같이 놓을 수 있다. 이때, 

$$\begin{aligned} \overline{\rm AB}^2 + \overline{\rm AC}^2 &= \left \{ (-c-a)^2 + (0-b)^2 \right \} + \left \{ (c-a)^2 + (0-b)^2 \right \} \\ &= \left ( a^2+2ac+c^2+b^2 \right )+ \left ( a^2-2ac+c^2+b^2 \right ) \\ &= 2a^2 +2b^2 + 2c^2 \\ &= 2 \left ( a^2 + b^2 + c^2 \right ) \end{aligned}$$

\[ \begin{aligned} \overline{\rm AM} ^2 + \overline{\rm BM}^2 &= \left \{ (0-a)^2 +(0-b)^2 \right \} + \left [ \left \{ 0-(-c) \right \}^2 +(0-0)^2 \right ] \\ &= a^2 +b^2 + c^2 \end{aligned}\]

\(\therefore \overline{\rm AB}^2 + \overline{\rm AC}^2 = 2 \left ( \overline{\rm AM}^2 + \overline{\rm BM}^2 \right )\)

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