파푸스의 중선정리

파푸스의 중선정리

임의의 삼각형 $\rm ABC$ 에서 변 $\rm BC$ 의 중점을 $\rm M$ 이라 할 때, 다음이 성립한다. $\overline{\rm AB}^2 + \overline{\rm AC}^2 = 2 \left ( \overline{\rm AM}^2 + \overline{\rm BM}^2 \right )$

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위 그림과 같이 변 $BC$ 가  $x$ 축 위에 있고, 변 $\rm BC$ 의 중점 $\rm M$ 을 원점 $\rm O$ 로 하는 좌표평면을 생각하자. 그러면 ${\rm A} (a, \;b), \; {\rm B}(-c, \; 0), \; {\rm C}(c, \;0), \; {\rm M}(0, \;0), \;\;(단, \; a 는 \; 임의의 \; 실수, \; b>0, \; c>0)$ 과 같이 놓을 수 있다. 이때, 

$\begin{aligned} \overline{\rm AB}^2 + \overline{\rm AC}^2 &= \left \{ (-c-a)^2 + (0-b)^2 \right \} + \left \{ (c-a)^2 + (0-b)^2 \right \} \\ &= \left ( a^2+2ac+c^2+b^2 \right )+ \left ( a^2-2ac+c^2+b^2 \right ) \\ &= 2a^2 +2b^2 + 2c^2 \\ &= 2 \left ( a^2 + b^2 + c^2 \right ) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \overline{\rm AM} ^2 + \overline{\rm BM}^2 &= \left \{ (0-a)^2 +(0-b)^2 \right \} + \left [ \left \{ 0-(-c) \right \}^2 +(0-0)^2 \right ] \\ &= a^2 +b^2 + c^2 \end{aligned}$

$\therefore \overline{\rm AB}^2 + \overline{\rm AC}^2 = 2 \left ( \overline{\rm AM}^2 + \overline{\rm BM}^2 \right )$

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