축에 접하는 원의 방정식 & 원과 직선의 위치 관계_난이도 상 (2024년 9월 전국연합 고1 30번)

 

 

두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 이차함수 $f(x)=a(x-b)^2$ 이 있다. 중심이 함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위에 있고 직선 $y=\dfrac{4}{3}x$ 와 $x$ 축에 동시에 접하는 서로 다른 원의 개수는 $3$ 이다. 이 세 원의 중심의 $x$ 좌표를 각각 $x_1, \; x_2, \; x_3$ 이라 할 때, 세 실수 $x_1, \; x_2, \; x_3$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $x_1 \times x_2 \times x_3 >0$

(나) 세 점 $(x_1, \; f(x_1)), \; (x_2, \; f(x_2)), \; (x_3, \; f(x_3))$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의 $y$ 좌표는 $-\dfrac{7}{3}$ 이다.

 

$f(4) \times f(6)$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $144$