절댓값이 포함된 삼각함수의 그래프_난이도 상 (2024년 9월 전국연합 고2 29번)

 

 

자연수 $p$ 와 실수 $q \; (q \ge 0)$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=| p \sin x - q|$$ 이다. $f(a)=q$ 인 서로 다른 모든 양수 $a$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. 수열 $\{a_n\}$ 과 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 세 항 $a_1, \; a_4, \; a_7$ 은 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

(나) 함수 $f(x)$ 의 최댓값은 $15$ 이다.

 

두 수 $p, \; q$ 의 모든 순서쌍 $(p, \; q)$ 의 개수를 구하시오.

 

정답 $11$