그림과 같이 둘레의 길이가 $20$ 이고 $\cos (\angle \mathrm{ABC})=\dfrac{1}{4}$ 인 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$ 가 있다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 외접원의 넓이가 $\dfrac{32}{3}\pi$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{ABD}$ 의 외접원의 넓이는 $\dfrac{q}{p}\pi$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\overline{\mathrm{AB}} < \overline{\mathrm{AD}}$ 이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)
