닫힌구간 $[0, \; 2\pi]$ 에서 정의된 함수 $$f(x)=\begin{cases} \sin x -1 & (0 \le x < \pi) \\ -\sqrt{2}\sin x-1 & (\pi \le x \le 2\pi) \end{cases}$$ 가 있다. $0 \le t \le 2\pi$ 인 실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $f(x)=f(t)$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $3$ 이 되도록 하는 모든 $t$ 의 값의 합은 $\dfrac{q}{p}\pi$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)
