등비수열의 극한_난이도 상 (2024년 사관학교 미적분 30번)

 

 

양수 $k$ 와 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)=\begin{cases} \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{|x-2|^{2n+1}+f(x)}{|x-2|^{2n}+k} & (|x-2| \ne 1) \\[10pt] \dfrac{|f(x+1)|}{k+1} & (|x-2|=1)\end{cases}$ 이 실수 전체의 집합에서 연속이다. 닫힌구간 $[1, \; 3]$ 에서 함수 $f(g(x))$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라 할 때, $10(M+m)$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $30$