수학1_수열_등비수열의 활용_난이도 중

그림과 같이 두 직선 $l,\; m$ 에 동시에 접하는 원 ${\rm C}_1$ 이 있다.
원 ${\rm C}_1$ 의 중심을 지나고 직선 $l,\;m$ 에 동시에 접하면서 ${\rm C}_1$ 보다 큰 원을 ${\rm C}_2$ 라 하자. 
원 ${\rm C}_2$ 의 중심을 지나고 직선 $l,\;m$ 에 동시에 접하면서 ${\rm C}_2$ 보다 큰 원을 ${\rm C}_3$ 라 하자.
이와 같은 방법으로 원 ${\rm C}_k$ 의 중심을 지나고 직선 $l,\;m$ 에 동시에 접하는 ${\rm C}_k$ 보다 큰 원을 ${\rm C}_{k+1}$ 이라 하자. ($k=1,\;2,\;3,\; \cdots$)
원 ${\rm C}_1$ 의 넓이가 $1$, 원 ${\rm C}_5$ 의 넓이가 $4$ 일 때, 원 ${\rm C}_{19}$ 의 넓이를 구하시오. 

정답 512