좌표공간에 중심이 $\mathrm{A}(0, 0, 1)$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구 $S$ 가 있다. 구 $S$ 가 $xy$ 평면과 만나서 생기는 원을 $C$ 라 하고, 점 $\mathrm{A}$ 에서 선분 $\mathrm{PQ}$ 까지의 거리가 $2$ 가 되도록 원 $C$ 위에 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 를 잡는다. 구 $S$ 가 선분 $\mathrm{PQ}$ 를 지름으로 하는 구 $T$ 와 만나서 생기는 원 위에서 점 $\mathrm{B}$ 가 움직일 때, 삼각형 $\mathrm{BPQ}$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값은? (단, 점 $\mathrm{B}$ 의 $z$ 좌표는 양수이다.)
① $6$ ② $3\sqrt{6}$ ③ $6\sqrt{2}$ ④ $3\sqrt{10}$ ⑤ $6\sqrt{3}$
