타원의 정의 & 쌍곡선의 정의_난이도 중 (2023년 3월 전국연합 고3 기하 30번)

 

 

그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 인 타원 $C$ 가 있다. 타원 $C$ 가 두 직선 $x=c, \; x=-c$ 와 만나는 점 중 $y$ 좌표가 양수인 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하자. 

두 초점이 $\mathrm{A, \; B}$ 이고 점 $\mathrm{F}$ 를 지나는 쌍곡선이 직선 $x=c$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{F}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고, 이 쌍곡선이 두 직선 $\mathrm{BF, \; BP}$ 와 만나는 점 중 $x$ 좌표가 음수인 점을 각각 $\mathrm{Q, \; R}$ 라 하자.

세 점 $\mathrm{P, \; Q, \; R}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 삼각형 $\mathrm{BFP}$ 는 정삼각형이다.

(나) 타원 $C$ 의 장축의 길이와 삼각형 $\mathrm{BQR}$ 의 둘레의 길이의 차는 $3$ 이다.

 

$60 \times \overline{\mathrm{AF}}$ 의 값을 구하시오.

 

 

정답 $100$