그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정사각형 $\mathrm{OA_1B_1C_1}$ 의 대각선 $\mathrm{OB_1}$ 을 $3:1$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{D_1}$ 이라 하고, 네 선분 $\mathrm{A_1B_1, \; B_1C_1, \; C_1D_1, \; D_1A_1}$ 으로 둘러싸인
모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.
그림 $R_1$ 에서 중심이 $\mathrm{O}$ 이고 두 직선 $\mathrm{A_1D_1, \; C_1D_1}$ 에 동시에 접하는 원과 선분 $\mathrm{OB_1}$ 이 만나는 점을 $\mathrm{B_2}$ 라 하자. 선분 $\mathrm{OB_2}$ 를 대각선으로 하는 정사각형 $\mathrm{OA_2B_2C_2}$ 를 그리고 정사각형 $\mathrm{OA_2B_2C_2}$ 에 그림 $R_1$ 을 얻는 것과 같은 방법으로
모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?
① $\dfrac{70}{11}$ ②$\dfrac{75}{11}$ ③$\dfrac{80}{11}$ ④$\dfrac{80}{9}$ ⑤$\dfrac{85}{9}$
