도형과 등비급수_난이도 중하 (2021년 6월 평가원 고3 미적분 26번)

 

 

그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}_1$, 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{5\pi}{12}$ 인 부채꼴 $\mathrm{O_1A_1O_2}$ 가 있다. 호 $\mathrm{A_1O_2}$ 위에 점 $\mathrm{B_1}$ 을 $\angle \mathrm{A_1O_1B_1}=\dfrac{\pi}{4}$ 가 되도록 잡고, 부채꼴 $\mathrm{O_1A_1B_1}$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 점 $\mathrm{O_2}$ 를 지나고 선분 $\mathrm{O_1A_1}$ 에 평행한 직선이 직선 $\mathrm{O_1B_1}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{A_2}$ 라 하자. 중심이 $\mathrm{O_2}$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{5\pi}{12}$ 인 부채꼴 $\mathrm{O_2A_2O_3}$ 을 부채꼴 $\mathrm{O_1A_1B_1}$ 과 겹치지 않도록 그린다. 호 $\mathrm{A_2O_3}$ 위에 점 $\mathrm{B_2}$ 를 $\angle \mathrm{A_2O_2B_2}=\dfrac{\pi}{4}$ 가 되도록 잡고, 부채꼴 $\mathrm{O_2A_2B_2}$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

 

 

① $\dfrac{3\pi}{16}$          ② $\dfrac{7\pi}{32}$          ③ $\dfrac{\pi}{4}$          ④ $\dfrac{9\pi}{32}$          ⑤ $\dfrac{5\pi}{16}$

 

정답 ③