수학1_지수_지수의 대소_난이도 중

다음은 \(0<a<1\) 이고, \(n\) 이 \(2\) 보다 큰 자연수일 때, 세수 \[\sqrt[n-1]{a^n},\;\;\sqrt[n]{a^{n-1}},\;\;\sqrt[n+1]{a^{n-1}}\] 중 가장 작은 수를 찾는 과정이다.

   \(\sqrt[n-1]{a^n} \div \sqrt[n]{a^{n-1}} = a^{\frac{2n-1}{n(n-1)}}\;\;   (가)\;\;  1\)

   \(\therefore \sqrt[n-1]{a^n} \;\; (가) \;\; \sqrt[n]{a^{n-1}}\;\;  \cdots\cdots ㉠ \)

   같은 방법으로 대소 관계를 구하면

   \(\sqrt[n]{a^{n-1}} \;\;(나)\;\; \sqrt[n+1]{a^{n-1}}\;\; \cdots\cdots㉡\)
 
   \(\sqrt[n-1]{a^n} \;\; (다)\;\; \sqrt[n+1]{a^{n-1}}\;\; \cdots\cdots㉢\)
   ㉠, ㉡, ㉢에서 세 수 중 가장 작은 수는 (라) 이다. 

위의 과정에서 (가), (나), (라)에 알맞은 것을 차례대로 나열하면?

① \(<,\;\;<,\;\;\sqrt[n-1]{a^n}\)            ② \(<,\;\;>,\;\;\sqrt[n+1]{a^{n-1}}\)          

③ \(>,\;\;<,\;\;\sqrt[n]{a^{n-1}}\)          ④ \(>,\;\;>,\;\;\sqrt[n]{a^{n-1}}\)          

⑤ \(<,\;\;>,\;\;\sqrt[n+1]{a^{n-1}}\)          

정답 ①