부채꼴의 넓이_난이도 중 (2020년 6월 전국연합 고2 18번)

 

 

그림과 같이 $\overline{\rm OA}=\overline{\rm OB}=1$,  $\angle \rm AOB=\theta$ 인 이등변삼각형 $\rm OAB$ 가 있다. 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 선분 $\rm OA$ 와 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm P$, 선분 $\rm OB$ 와 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm Q$ 라 하자. 선분 $\rm AB$ 의 중점을 $\rm M$ 이라 할 때, 다음은 부채꼴 $\rm MPQ$ 의 넓이 $S(\theta)$ 를 구하는 과정이다. (단, $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$)

 

 

삼각형 $\rm OAM$ 에서 $\angle \rm OMA = \dfrac{\pi}{2}$, $\angle \rm AOM=\dfrac{\theta}{2}$ 이므로

       $\overline{\rm MA}=\boxed{ (가) }$

이다. 한편, $\angle \rm OAM = \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\theta}{2}$ 이고 $\overline{\rm MA}=\overline{\rm MP}$ 이므로

       $\angle \rm AMP=\boxed{ (나) }$

이다. 같은 방법으로 

$\angle \rm OBM = \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\theta}{2}$ 이고 $\overline{\rm MB}=\overline{\rm MQ}$ 이므로

       $\angle \rm BMQ = \boxed{ (나) }$

이다. 따라서 부채꼴 $\rm MPQ$ 의 넓이 $S(\theta)$ 는 

       $S(\theta) = \dfrac{1}{2} \times \left ( \boxed{ (가) } \right )^2 \times \boxed{ (다) }$

이다.

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(\theta), \; g(\theta), \; h(\theta)$ 라 할 때, $\dfrac{f \left (\dfrac{\pi}{3} \right ) \times g \left (\dfrac{\pi}{6} \right )}{h \left (\dfrac{\pi}{4} \right )} $ 의 값은?

 

① $\dfrac{5}{12}$          ② $\dfrac{1}{3}$          ③ $\dfrac{1}{4}$          ④ $\dfrac{1}{6}$          ⑤ $\dfrac{1}{12}$

 

정답 ④