원과 접선&피타고라스의 정리_난이도 중 (2019년 9월 전국연합 고1 28번)

 

 

반지름의 길이가 $6$ 인 원 모양의 종이가 있을 때, 다음과 같은 방법으로 새로운 원을 그린다.

 

$\rm I$	원의 중심 $\rm O$ 를 지나는 직선을 그렸을 때, 원과 만나는 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하자. 원과 두 점에서 만나도록 직선 $\rm AB$ 와 평행한 직선을 그렸을 때, 원과 만나는 두 점을 각각 $\rm C, \; D$ 라 하자.
$\rm II$	점 $\rm A$ 를 지나는 현을 접는 선으로 하여 직선 $\rm CD$ 에 접하도록 종이를 접고, 그 접점을 $\rm E$ 라 하자.
$\rm III$	점 $\rm A$ 를 지나는 현이 원과 만나는 점 중 점 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm F$ 라 하자. 세 점 $\rm A, \; E, \; F$ 를 지나는 새로운 원을 그린다.

 

원의 중심 $\rm O$ 를 좌표평면의 원점으로 하고, 두 점 $\rm A, \; B$ 를 지나는 직선을 $y$ 축으로 하는 좌표평면을 그렸을 때, 세 점 $\rm A, \; E, \; F$ 를 지나는 원의 중심을 ${\rm O}'(a, \; b)$ 라 하자. 삼각형 $\rm AEO'$ 의 넓이가 $12$ 일 때, $a^2+b^2$ 의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 무시한다.)

 

정답 $24$