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수열의 합과 일반항과의 관계_난이도 중 (2022년 7월 전국연합 고3 12번) 본문

수학1- 문제풀이/수열

수열의 합과 일반항과의 관계_난이도 중 (2022년 7월 전국연합 고3 12번)

수악중독 2022. 7. 7. 09:11

첫째항이 22 인 수열 {an}\{a_n\} 의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS_n 이라 하자. 다음은 모든 자연수 nn 에 대하여 k=1n3Skk+2=Sn\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{3S_k}{k+2}=S_n 이 성립할 때, a10a_{10} 의 값을 구하는 과정이다.

 

n2n \ge 2 인 모든 자연수 nn 에 대하여 an=SnSn1=k=1n3Skk+2k=1n13Skk+2=3Snn+2\begin{aligned}a_n &= S_n - S_{n-1} \\[10pt] &= \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{3S_k}{k+2} - \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{3S_k}{k+2} = \dfrac{3S_n}{n+2} \end{aligned} 이므로 3Sn=(n+2)×an  (n2)3S_n = (n+2) \times a_n \; (n \ge 2) 이다.

S1=a1S_1 = a_1 에서 3S1=3a13S_1 = 3a_1 이므로 3Sn=(n+2)×an  (n1)3S_n = (n+2) \times a_n \; (n \ge 1) 이다. 3an=3(SnSn1)=(n+2)×an(())×an1  (n2)\begin{aligned} 3a_n &= 3(S_n - S_{n-1}) \\ &= (n+2) \times a_n - \left ( \boxed{ (가) } \right ) \times a_{n-1} \; (n \ge 2)\end{aligned} anan1=()  (n2)\dfrac{a_n}{a_{n-1}} = \boxed{ (나) } \; (n \ge 2) 따라서 a10=a1×a2a1×a3a2×a4a3××a9a8×a10a9=()\begin{aligned} a_{10} &= a_1 \times \dfrac{a_2}{a_1} \times \dfrac{a_3}{a_2} \times \dfrac{a_4}{a_3} \times \cdots \times \dfrac{a_9}{a_8} \times \dfrac{a_{10}}{a_9} \\[10pt] &= \boxed{ (다) }\end{aligned}

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n),  g(n)f(n), \; g(n) 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 pp 라 할 때, f(p)g(p)\dfrac{f(p)}{g(p)} 의 값은?

 

109109          ② 112112          ③ 115115          ④ 118118          ⑤ 121121

 

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정답 ①

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