첫째항이 2 인 수열 {an} 의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn 이라 하자. 다음은 모든 자연수 n 에 대하여 k=1∑nk+23Sk=Sn 이 성립할 때, a10 의 값을 구하는 과정이다.
n≥2 인 모든 자연수 n 에 대하여 an=Sn−Sn−1=k=1∑nk+23Sk−k=1∑n−1k+23Sk=n+23Sn 이므로 3Sn=(n+2)×an(n≥2) 이다.
S1=a1 에서 3S1=3a1 이므로 3Sn=(n+2)×an(n≥1) 이다. 3an=3(Sn−Sn−1)=(n+2)×an−((가))×an−1(n≥2)an−1an=(나)(n≥2) 따라서 a10=a1×a1a2×a2a3×a3a4×⋯×a8a9×a9a10=(다)
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n),g(n) 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 p 라 할 때, g(p)f(p) 의 값은?