삼각함수의 극한 활용_난이도 중상 (2022년 7월 전국연합 고3 미적분 29번)

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원의 호 $\rm AB$ 위에 점 $\rm P$ 가 있다. 호 $\rm AP$ 위에 점 $\rm Q$ 를 호 $\rm PB$ 와 호 $\rm PQ$ 의 길이가 같도록 잡을 때, 두 선분 $\rm AP, \; BQ$ 가 만나는 점을 $\rm R$ 라 하고 점 $\rm B$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 수직인 직선이 직선 $\rm AP$ 와 만나는 점을 $\rm S$ 라 하자. $\angle \rm BAP = \theta$ 라 할 때, 두 선분 $\rm PR, \; QR$ 와 호 $\rm PQ$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta)$, 두 선분 $\rm PS, \; BS$ 와 호 $\rm BP$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+}\dfrac{f(\theta)+g(\theta)}{\theta^3}$ 의 값을 구하시오. (단, $0<\theta < \dfrac{\pi}{4}$)

정답 $4$