함수의 연속과 불연속&함수의 그래프와 미분_난이도 상 (2022년 7월 전국연합 고3 미적분 30번)

최고차항의 계수가 $3$보다 크고 실수 전체의 집합에서 최솟값이 양수인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=e^x f(x)$$ 이다. 양수 $k$ 에 대하여 집합 $\{x | g(x)=k, \; x\text{는 실수}\}$ 의 모든 원소의 합을 $h(k)$ 라 할 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $h(k)$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 함수 $h(k)$ 가 $k=t$ 에서 불연속인 $t$ 의 개수는 $1$ 이다.

(나) $\lim \limits_{k \to 3e+} h(k) - \lim \limits_{k \to 3e-}h(k)=2$

 

$g(-6) \times g(2)$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim \limits_{x \to -\infty}x^2e^x=0$)

 

정답 $129$