삼각함수의 극한 활용_난이도 상 (2021년 11월 수능 미적분 29번)

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\rm AB$ 위에 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 $\angle \rm PAB=\theta, \; \angle QBA=2\theta$ 가 되도록 잡고, 두 선분 $\rm AB, \; BQ$ 의 교점을 $\rm R$ 이라 하자. 

선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm S$, 선분 $\rm BR$ 위의 점 $\rm T$, 선분 $\rm AR$ 위의 점 $\rm U$ 를 선분 $\rm UT$ 가 선분 $\rm AB$ 에 평행하고 삼각형 $\rm STU$ 가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 $\rm AR, \; QR$ 와 호 $\rm AQ$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm STU$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{g(\theta)}{\theta \times f(\theta)} = \dfrac{q}{p}\sqrt{3}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. 

(단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{6}$ 이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $11$