포물선의 정의&포물선의 방정식_난이도 중상 (2022년 3월 전국연합 고3 기하 30번)

그림과 같이 꼭짓점이 $\rm A_1$이고 초점이 $\rm F_1$인 포물선 $P_1$과 꼭짓점이 $\rm A_2$이고 초점이 $\rm F_2$인 포물선 $P_2$가 있다. 두 포물선의 준선은 모두 직선 $\rm F_1F_2$와 평행하고, 두 선분 $\rm A_1A_2, \; F_1F_2$의 중점은 서로 일치한다.

두 포물선 $P_1, \; P_2$가 서로 다른 두 점에서 만날 때 두 점 중에서 점 $\rm A_2$에 가까운 점을 $\rm B$라 하자. 포물선 $P_1$이 선분 $\rm F_1F_2$와 만나는 점을 $\rm C$라 할 때, 두 점 $\rm B, \; C$가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $\overline{\rm A_1C}=5\sqrt{5}$

(나) $\overline{\rm F_1B}-\overline{\rm F_2B}=\dfrac{48}{5}$

 

삼각형 $\rm BF_2F_1$의 넓이가 $S$일 때, $10S$의 값을 구하시오. (단, $\angle \rm F_1F_2B<90^{\rm o}$)

정답 $384$