내적의 기하학적 의미_난이도 상 (2021년 9월 평가원 고3 기하 30번)

좌표평면에서 세 점 ${\rm A}(-3, \; 1)$, ${\rm B}(0, \; 2)$, ${\rm C}(1, \; 0)$ 에 대하여 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 $$\left | \overrightarrow{\rm AP} \right |= 1, \quad \left | \overrightarrow{\rm BQ} \right | = 2, \quad \overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm OC} \ge \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ 를 만족시킬 때, $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}$ 의 값이 최소가 되도록 하는 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 각각 $\rm P_0, \; Q_0$ 이라 하자.

선분 $\rm AP_0$ 위의 점 $\rm X$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm BX} \cdot \overrightarrow{\rm BQ_0} \ge 1$ 일 때, $\left | \overrightarrow{\rm Q_0X} \right |^2$ 의 최댓값은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $45$