벡터의 종점이 나타내는 자취_난이도 상 (2021년 11월 수능 기하 29번)

좌표평면에서 $\overline{\rm OA}=\sqrt{2}, \; \overline{\rm OB}=2\sqrt{2}$ 이고 $\cos ( \angle {\rm AOB})=\dfrac{1}{4}$ 인 평행사변형 $\rm OACB$ 에 대하여 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 

 

(가) $\overrightarrow{\rm OP} = s \overrightarrow{\rm OA} + t \overrightarrow{\rm OB} \quad (0 \le s \le 1, \; 0 \le t \le 1)$

(나) $\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OB} + \overrightarrow{\rm BP} \cdot \overrightarrow{\rm BC}=2$

 

점 $\rm O$ 를 중심으로 하고 점 $\rm A$ 를 지나는 원 위를 움직이는 점 $\rm X$ 에 대하여 $\left | 3 \overrightarrow{\rm OP} - \overrightarrow{\rm OX} \right |$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라 하자. $M \times m= a\sqrt{6}+b$ 일 때, $a^2+b^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 유리수이다.)

 

정답 $100$