벡터 내적의 최대최소 & 내적의 기하학적 의미_난이도 상 (2021년 8월 교육청 고3 기하 30번)

좌표평면 위의 두 점 $\rm A \left ( 2\sqrt{2}, \; -\sqrt{2} \right )$, $\rm B \left ( -\sqrt{2}, \; 2\sqrt{2} \right )$ 에 대하여 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 

 

(가) $\overrightarrow{\rm OP} = (1-t) \overrightarrow{\rm OA} + t \overrightarrow{\rm OB}$ 이고 $\dfrac{2}{3} \le t \le 1$ 이다.

(나) $\left | \overrightarrow{\rm OQ} \right | = \left | \overrightarrow{\rm OA} \right |$ 이고 $\overrightarrow{\rm OQ} \cdot \left ( \overrightarrow{\rm OA} + \overrightarrow{\rm OB} \right ) \le \left | \overrightarrow{\rm OA} + \overrightarrow{\rm OB} \right |$ 이다.

 

점 ${\rm R} \left ( -\sqrt{2}, \; \sqrt{2} \right )$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm RP} \cdot \overrightarrow{\rm RQ}$ 의 최댓값과 최솟값의 차는 $m+n \sqrt{5}$ 이다. $m+n$의 값을 구하시오.  (단, $\rm O$ 는 원점이고, $m, \; n$ 은 자연수이다.)

 

정답 $10$