함수의 그래프와 미분 & 극값의 판정_난이도 상 (2021년 8월 교육청 고3 미적분 30번)

삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)=f \left ( \left | 3xe^{1-x} \right | \right )$ 은 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 함수 $g(x)$ 가 $x=\alpha$ 에서 극값을 갖는 모든 $\alpha$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$  ($m$은 자연수) 라 하고 집합 $A$ 를 $A=\{g(\alpha_i) \; | \; i=1, \; 2, \; \cdots, \; m\}$ 이라 하면, 집합 $A$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $m+n(A)=7$

(나) $g(\alpha_1)=g(\alpha_2) +3, \;\; g(\alpha_1) + g(\alpha_m)=2$

 

$|f(6)|$의 값을 구하시오. (단, $\lim \limits_{x \to \infty} xe^{-x}=0$ 이다.)

 

정답 $83$