삼수선의 정리&이면각의 크기_난이도 중 (2021년 7월 전국연합 고3 기하 29번)

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=4, \; \overline{\rm CD}=8, \; \overline{\rm BC}=\overline{\rm BD}=4\sqrt{5}$ 인 사면체 $\rm ABCD$ 에 대하여 직선 $\rm AB$ 와 평면 $\rm ACD$ 는 서로 수직이다. 두 선분 $\rm CD, \; DB$ 의 중점을 각각 $\rm M, \; N$ 이라 할 때, 선분 $\rm AM$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 선분 $\rm DB$ 와 선분 $\rm PN$ 은 서로 수직이다. 두 평면 $\rm PDB$ 와 $\rm CDB$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $40 \cos ^2 \theta$ 의 값을 구하시오.

정답 $25$