사인법칙_난이도 중 (2021년 6월 전국연합 고2 17번)

$0< \theta < \dfrac{\pi}{4}$ 인 임의의 실수 $\theta$ 에 대하여 그림과 같이 $\overline{\rm AB}=3$, $\angle \rm ABC=\theta$, $\angle \rm CAB = 3\theta$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm BC$ 위에 점 $\rm D$ 를 $\angle \rm DAC = \theta$ 가 되도록 잡고, 선분 $\rm AC$ 위에 점 $\rm E$ 를 $\angle \rm EDC = \theta$ 가 되도록 잡는다. 다음은 삼각형 $\rm ADE$ 의 넓이 $S(\theta)$ 를 구하는 과정이다.

 

$\angle \rm ABC = \theta, \; \angle DAB= 2 \theta$ 이므로 $\angle \rm DBA = \pi - 3\theta$ 이다.

삼각형 $\rm ABD$ 에서 사인법칙에 의하여

     $\dfrac{\overline{\rm AD}}{\sin \theta} = \dfrac{\overline{\rm AB}}{\boxed{\; (가) \; }}$

이므로 $\overline{\rm AD} = \dfrac{3 \sin \theta}{\boxed{\; (가) \; }}$ 이다.

또한 $\angle \rm ADE = 2 \theta$ 이므로

     $\overline{\rm DE} = \boxed{ \; (나) \; } \times \overline{\rm AD}^2$

이다. 따라서 삼각형 $\rm ADE$ 의 넓이 $S(\theta)$ 는

     $S(\theta ) = \dfrac{9}{2} \times \left ( \dfrac{\sin \theta}{\sin 3 \theta} \right )^3 \times \boxed{\; (다)\; }$

이다. 

 

위의 (가), (다) 에 알맞은 식을 각각 $f(\theta), \; g(\theta)$ 라 하고, (나)에 알맞은 수를 $p$ 라 할 때, $p \times f \left (\dfrac{\pi}{6} \right ) \times g \left ( \dfrac{\pi}{12} \right )$ 의 값은?

 

① $\dfrac{1}{12}$          ② $\dfrac{1}{6}$          ③ $\dfrac{1}{4}$          ④ $\dfrac{1}{3}$          ⑤ $\dfrac{5}{12}$

 

정답 ②