도형과 등비급수_난이도 상 (2020년 12월 수능 가형 14번)

그림과 같이 선분 $\overline{\rm AB_1} = 2, \; \overline{\rm AD_1}=4$ 인 직사각형 $\rm AB_1C_1D_1$ 이 있다. 선분 $\rm AD_1$ 을 $3:1$ 로 내분하는 점을 $\rm E_1$ 이라하고, 직사각형 $\rm AB_1C_1D_1$ 의 내부에 점 $\rm F_1$ 을 $\overline{\rm F_1E_1}= \overline{\rm F_1C_1}$, $\angle \rm E_1 F_1 C_1 = \dfrac{\pi}{2}$ 가 되도록 잡고 삼각형 $\rm E_1 F_1 C_1$ 을 그린다. 사각형 $\rm E_1F_1C_1D_1$ 을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 선분 $\rm AB_1$ 위의 점 $\rm B_2$, 선분 $\rm E_1F_1$ 위의 점 $ \rm C_2$, 선분 $\rm AE_1$ 위의 점 $\rm D_2$ 와 점 $\rm A$ 를 꼭짓점으로 하고 $\overline{\rm AB_2}:\overline{\rm AD_2}=1:2$ 인 직사각형 $\rm AB_2C_2D_2$ 를 그린다. 그림 $R_1$ 을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 $\rm AB_2C_2D_2$ 에 삼각형 $\rm E_2F_2C_2$ 를 그리고 사각형 $\rm E_2F_2C_2D_2$ 를 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty}S_n$ 의 값은?

 

 

① $\dfrac{441}{103}$          ② $\dfrac{441}{109}$          ③ $\dfrac{441}{115}$          ④ $\dfrac{441}{121}$          ⑤ $\dfrac{441}{127}$

 

정답 ③