함수의 극대와 극소&치환적분_난이도 상 (2020년 7월 교육청 고3 가형 30번)

함수 $f(x)=\sin \dfrac{\pi}{2}x$ 와 $0$ 이 아닌 두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x) = e^{af(x)} + bf(x) \;\; (0<x<12)$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 가 $x=\alpha$ 에서 극대 또는 극소인 모든 $\alpha$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \alpha_3, \; \cdots , \; \alpha_m$ ($m$ 은 자연수)라 할 때, $m$ 이하의 자연수 $n$ 에 대하여 $\alpha_n$ 은 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $n$ 이 홀수일 때, $\alpha_n=n$ 이다.

(나) $n$ 이 짝수일 때, $g(\alpha_n)=0$ 이다.

 

함수 $g(x)$ 가 서로 다른 두 개의 극댓값을 갖고 그 합이 $e^3 + e^{-3}$ 일 때, $m\pi \displaystyle \int_{\alpha_3}^{\alpha_4} g(x) \cos \dfrac{\pi}{2} x dx=pe^3+qe$ 이다. $p-q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 정수이다.) 

 

정답 $48$