미분가능성&그래프의 개형&정적분의 성질_난이도 상 (2019년 11월 수능 가형 21번)

실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=e^x$ 위의 점 $\left (t, \; e^t \right )$ 에서의 접선의 방정식을 $y=f(x)$ 라 할 때, 함수 $y= \left | f(x) +k - \ln x \right |$ 가 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 실수 $k$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 두 실수 $a, \; b \; (a< b)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_a^b g(t) dt = m$ 이라 할 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. $m<0$ 이 되도록 하는 두 실수 $a, \; b\; (a<b)$ 가 존재한다.
ㄴ. 실수 $c$ 에 대하여 $g(c)=0$ 이면 $g(-c)=0$ 이다.
ㄷ. $a= \alpha, \; b= \beta \; (\alpha <\beta)$ 일 때 $m$ 의 값이 최소이면 $\dfrac{1+g'(\beta)}{1+g'(\alpha)} < -e^2$ 이다.

①ㄱ          ② ㄴ          ③ ㄱ, ㄴ          ④ ㄱ, ㄷ          ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤