(이과) 몫의 미분&부정적분_난이도 상 (2018년 수능 가형 30번)

최고차항의 계수가 $6\pi$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)=\dfrac{1}{2+\sin(f(x))}$  이 $x=\alpha$ 에서 극대 또는 극소이고, $\alpha \ge 0$ 인 모든 $\alpha$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \alpha_3, \; \alpha_4, \; \alpha_5, \; \cdots$ 라 할 때, $g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\alpha_1 = 0$ 이고 $g(\alpha_1) = \dfrac{2}{5}$ 이다. 

(나) $\dfrac{1}{g(\alpha_5)} = \dfrac{1}{g(\alpha_2)} + \dfrac{1}{2}$ 

$g' \left ( -\dfrac{1}{2} \right ) = a \pi$ 라 할 때, $a^2$ 의 값을 구하시오. (단, $0<f(0)<\dfrac{\pi}{2}$)

정답 $27$