미적분2_최대최소와 미분_난이도 상 (2017년 9월 평가원 가형 30번)

함수 $f(x)=\ln \left ( e^x +1 \right ) + 2e^x$ 에 대하여 이차함수 $g(x)$ 와 실수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $h(x)=|g(x)-f(x-k)|$ 는 $x=k$  에서 최솟값 $g(k)$ 를 갖고, 닫힌 구간 $[k-1, \; k+1]$ 에서 최댓값 $2e+\ln \left ( \dfrac{1+e}{\sqrt{2}} \right )$ 를 갖는다.

$g' \left ( k-\dfrac{1}{2} \right )$ 의 값을 구하시오. (단, $\dfrac{5}{2} < e < 3$ 이다.)

정답 $6$