미적분2_미분_접선의 방정식_난이도 상 (2017년 11월 수능 가형 21번)

양수 $t$ 에 대하여 구간 $[1, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 $$f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} \ln x & (1 \le x <e) \\ -t+ \ln x & (x \ge e) \end{array} \right . $$ 일 때, 다음 조건을 만족시키는 일차함수 $g(x)$ 중에서 직선 $y=g(x)$ 의 기울기의 최솟값을 $h(t)$ 라 하자. 

$1$ 이상의 모든 실수 $x$ 에 대하여 $(x-e)\{g(x)-f(x)\}\ge0$ 이다.

미분가능한 함수 $h(t)$ 에 대하여 양수 $a$ 가 $h(a)=\dfrac{1}{e+2}$ 을 만족시킨다. $h'\left ( \dfrac{1}{2e} \right ) \times h'(a)$ 의 값은?

① $\dfrac{1}{(e+1)^2}$          ② $\dfrac{1}{e(e+1)}$          ③ $\dfrac{1}{e^2}$          ④ $\dfrac{1}{(e-1)(e+1)}$          ⑤ $\dfrac{1}{e(e-1)}$

정답 ④