수열의 극한_난이도 상

$3$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 점 ${\rm P}(x, \; y)$의 개수를 $a_n$ 이라 하자.

(가) $x, \;y$ 는 모두 음이 아닌 정수이다.

(나) 원점 $\rm O$ 에 대하여 $\overline{\rm OP} \le n$ 이다.

(다) $2x-y\sqrt{n^2-4} \ge 0$ 이다.

예를 들어, $a_3=5, \; a_4=7$ 이다. $b_n = \sum \limits_{k=3}^{2n+2} a_k$ 라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{3b_n-9n^2}{n+1}$ 의 값을 구하시오.  

정답 $27$