조합_난이도 중_짜증 최상 (2017년 7월 교육청 나형 30번)

좌표평면에서 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 영역 $\{(x, \; y) \; | \; 0 \le x \le n, \; \; 0 \le y \le \sqrt{x} \}$ 에 속하는 점 중에서 다음 조건을 만족시키는 서로 다른 두 점을 동시에 선택하는 경우의 수를 $f(n)$ 이라 하자.

(가) 두 점의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수이다.

(나) 두 점의 중점의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수이다.

예를 들어, $f(4)=9$ 이다. $f(n) \le 100$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최댓값을 구하시오.

정답 $9$