(이과) 평면과 평면이 이루는 각 & 직선과 평면이 이루는 각_난이도 상

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 밑면의 중심이 $\rm O$이고 반지름의 길이가 $6$ 인 원뿔대가 놓여있고, 다른 밑면의 반지름의 길이는 $4$ 이다. 반지름의 길이가 모두 $\sqrt{3}$ 이고 중심이 ${\rm O}_k$ $(k=1, \; 2, \; 3, \; 4)$ 인 네 구 $S_k$ 가 원뿔대의 두 밑면에 동시에 접하고 $S_1, \; S_3$ 는 원뿔대의 옆면에 접한다. $S_2, \; S_4$ 가 각각 $S_1, \; S_3$ 에 모두 접할 때, 평면 $\alpha$ 와 원뿔대에 모두 접하고 중심이 $\rm A$ 인 구 $S$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 두 점 $\rm O_1, \; O_3$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이 각각 $\rm O_1', \; O_3'$ 일 때, $\angle \rm O_1' O O_3' = 180^{\rm o}$ 이다.

(나) 평면 $\rm A O_1O_3$ 는 평면 $\alpha$ 와 수직이다.

(다) 평면 $\rm AO_2O_4$ 와 평면 $\alpha$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta_1$ 이라 할 때, $\tan \theta_1 = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ 이다.

직선 $\rm O_2A$ 와 평면 $\alpha$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta_2$ 라 할 때, $\sin^2 \theta_2 = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $9$