극대극소&미분가능&정적분_난이도 상

세 함수 $f(x), \; g(x), \; h(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(1)=2, \; g(1)=1$

(나) 모든 실수 $x, \; y$ 에 대하여 $f(xy+1)=xg(y)+h(x+y)$ 이다.

실수 $t$ 에 대하여 함수 $$p(x)= \{ 2f(x)-g(x)-h(x) \}^2 - h(x) |x-t| \;\; (-1 \le x \le 1)$$ 의 최댓값을 $q(t)$ 라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. 함수 $y=|q(t)|$ 의 극값은 $2$개 존재한다.

ㄴ. 함수 $y=|q(t)|$ 의 미분불가능한 점은 $4$ 개 존재한다.

ㄷ. $\displaystyle \int_{-2}^2 q(t) dt = \int_{-1}^1 q(t) dt $

① ㄴ          ② ㄷ          ③ ㄱ, ㄴ          ④ ㄴ, ㄷ          ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ④

모든 실수 $x,\; y$ 에 대해서 $$f(xy+1)=xg(y)+h(x+y)$$ 가 성립하므로 $x=0$ 을 대입하면 $$f(1)=h(y), \;\;\;\;\; \therefore h(x)=2\; (\because f(1)=2) $$ $y=1$ 을 대입하면 $$f(x+1)=x\cdot g(1) + h(x+1), \;\;\; \therefore f(x+1)=x+2$$ 결국 $$f(x)=x+1$$ 이 된다. 또한 $x=1$ 을 대입하면 $$f(y+1) = g(y) + h(y+1), \;\;\; \therefore g(y)=f(y+1)-2$$ 결국 $$g(x)=x$$ 가 된다. 따라서 $$p(x)=x^2 -2 | x-t |$$ 가 되고, 

$t \ge 1$ 일 때는 $-1 \le x \le 1$ 에서 $|x-t| \le 0$ 이므로 $p(x)=x^2 +2x -2t$ 가 되고, 이 경우는 $x=1$ 일 때가 최대이므로 $q(t)=-2t +3$,

$t \le -1$ 일 때는 $-1 \le x \le 1$ 에서 $|x-t| \ge 0$ 이므로 $p(x)=x^2 -2x +2t$ 가 되고, 이 경우는 $x=-1$ 일 때가 최대이므로 $q(t)=2t +3$,

$-1 < t <1$ 일 때는 

• $x<t$ 이면 $|x-t|<0$ 이므로 $p(x)=x^2+2x-2t$, 

• $x \ge t$ 이면 $|x-t| \ge 0$ 이므로 $p(x)=x^2-2x+2t$ 

가 된다. 이 경우는 그림에서와 같이 $x=t$ 에서 최대를 갖게 되므로 $q(t)=t^2$ 이 되다.

따라서 정리하면 $$q(t) = \begin{cases}  2 2t+3 & (t \le -1) \\ t^2 & (-1<t<1) \\ -2t+3 & (t \ge 1) \end{cases}  $$ 가 되고 그래프를 그려보면 다음과 같다. 

따라서 

ㄱ. $y=|q(t)|$ 의 극값은 5개 존재하고,

ㄴ. $y=|q(t)|$ 의 미분불가능 점은 4개이며,

ㄷ. $\displaystyle \int_{-2}^{-1} q(t) dt = \int_1^2 q(t) dt = 0$ 이므로 $\displaystyle \int_{-2}^2 q(t) dt = \int_{-1}^1 q(t) dt$ 이다.

정답은 ㄴ, ㄷ