중복조합&수열의 합_난이도 상 (2017년 4월 교육청 나형 30번)

자연수 $n$ 에 대하여 $0$ 부터 $n$ 까지의 정수가 하나씩 적힌 $(n+1)$ 개의 공이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 한 개의 공을 꺼내어 공에 적힌 수를 확인하고 다시 넣는 과정을 $5$ 번 반복할 때, 확인한 $5$ 개의 수가 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 $a_n$ 이라 하자.

(가) 꺼낸 공에 적힌 수는 먼저 꺼낸 공에 적힌 수보다 작지 않다.

(나) 세 번째 꺼낸 공에 적힌 수는 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수보다 $1$ 이 더 크다.

$\sum \limits_{n=1}^{18} \dfrac{a_n}{n+2}$ 의 값을 구하시오.

정답 $760$