수학적 귀납법_난이도 중 (2016년 8월 대구교육청 나형 17번)

수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1=\dfrac{3}{2}$ 이고 $$(n+2)(2n+1)a_{n+1} = -n(2n+3)a_n \;\; (n\ge 1)$$ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a_n$ 이 $$a_n = (-1)^{n-1} \times \dfrac{2n+1}{n(n+1)}\;\;\; \cdots \;\; (*)$$ 임을 구학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(i) $n=1$ 일 때,  $$(좌변)=a_1= \dfrac{3}{2}, \;\;\; (우변)= (-1)^0 \times \dfrac{3}{1 \times 2} = \dfrac{3}{2}$$  이므로 $(*)$ 이 성립한다.

(ii) $n=k$ 일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $$a_k = (-1)^{k-1}\times \dfrac{2k+1}{k(k+1)}$$ 이므로 $$ \begin{aligned} (k+2)(2k+1)a_{k+1} &= -k(2k+3)a_k \\ &= (-1)^k \times \dfrac{(가)}{k+1} \end{aligned}$$ 이다. 

따라서 $a_{k+1}=(-1)^k \times \dfrac{(나)}{(k+1)(k+2)}$ 이므로 $n=k+1$ 일 때도 $(*)$ 이 성립한다.

(i), (ii) 에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_n=(-1)^{n-1} \times \dfrac{2n+1}{n(n+1)} $$ 이다.

(가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(k), \; g(k)$ 라 할 때, $f(5)+g(5)$ 의 값은?

① $150$          ② $156$          ③ $162$          ④ $168$          ⑤ $174$

정답 ②