(이과) 입체의 부피와 적분_치환&부분적분_난이도 상 (2016년 4월 교육청 가형 19번)

그림과 같이 함수 $f(x)=\sqrt{x \left ( x^2 +1 \right ) \sin \left( x^2 \right )}\;\; \left (0 \le x \le \sqrt{\pi} \right )$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 와 $ x$ 축으로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 두 점 ${\rm P}(x, \; 0)$, ${\rm Q}(x, \; f(x))$ 를 지나고 $x$ 축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면이 선분 $\rm PQ$ 를 한 변으로 하는 정삼각형이다. 이 입체도형의 부피는?

① $\dfrac{\sqrt{3}(\pi+2)}{8}$           ② $\dfrac{\sqrt{3}(\pi+3)}{8}$           ③ $\dfrac{\sqrt{3}(\pi+4)}{8}$           ④ $\dfrac{\sqrt{3}(\pi+2)}{4}$           ⑤ $\dfrac{\sqrt{3}(\pi+3)}{4}$           

정답 ①