삼각함수 덧셈정리_난이도 중 (2016년 3월 교육청 가형 18번)

좌표평면에서 중심이 원점 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $3$ 인 원 $C_1$ 과 중심이 점 ${\rm A}(t, \;6)$ 이고 반지름의 길이가 $3$ 인 원 $C_2$ 가 있다. 그림과 같이 기울기가 양수인 직선 $l$ 이 선분 $\rm OA$ 와 만나고, 두 원 $C_1, \; C_2$  에 각각 접할 때, 다음은 직선 $l$ 의 기울기를 $t$ 에 대한 식으로 나타내는 과정이다. (단, $t>6$ )

직선 $\rm OA$ 가 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\alpha$ , 점 $\rm O$ 를 지나고 직선 $l$ 에 평행한 직선 $m$ 이 직선 $\rm OA$ 와 이루는 예각의 크기를 $\beta$ 라 하면     $\tan \alpha = \dfrac{6}{t}$     $\tan \beta = \; (가)$ 이다. 직선 $l$ 이 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 하면     $\theta = \alpha + \beta$ 이므로     $\tan \theta = \; (나)$ 이다. 따라서 직선 $l$ 의 기울기는 $(나)$ 이다.

위의 (가), (나) 에 알맞은 식을 각각 $f(t), \; g(t)$ 라 할 때, $\dfrac{g(8)}{f(7)}$ 의 값은?

① $2$          ② $\dfrac{5}{2}$          ③ $3$          ④ $\dfrac{7}{2}$          ⑤ $4$

정답 ⑤