2016학년도 수능 B형 30번 - 정적분으로 정의된 함수

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 

(가) $x \le b$ 일 때, $f(x)=a(x-b)^2+c$ 이다. (단, $a, \;b,\; c$ 는 상수이다.)

(나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)= {\displaystyle \int _0 ^x} \sqrt{4-2f(t)} \; dt$ 이다.

$\displaystyle \int _0 ^6 f(x) \; dx = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 35

$f(x) = \displaystyle \int _0 ^x \sqrt{4-2f(t)} \; dt$ 와 같은 조건이 주어지면 우리가 해야할 것은 두 가지다. 

첫 째, 양변을 $x$에 대하여 미분하는 것이고, 

둘 째, 정적분의 아랫끝과 같은 값을 $x$에 대입하는 것이다.

양변을 $x$ 에 대하여 미분하면  $f'(x) = \sqrt{4-2f(x)}\;\;\; \cdots (1)$ 이고 $x=0$ 을 대입하면 $f(0)=0 \;\;\; \cdots (2)$ 이다.

식 (1) 을 보면 우변에 루트기호가 등장하는 것을 볼 수 있다. 이 경우 머릿속에 떠 올려야 할 것은 또 두 가지이다.

첫 째, 루트 안이 $0$ 보다 크거나 같아야 하는 것이고,

둘 째, 좌변 역시 $0$ 보다 크거나 같아야 하는 것이다.

이 두 가지로부터 얻을 수 있는 것은 $f(x)  \le 2 \;\;\; \cdots (3)$ $f'(x)  \ge 0 \;\;\; \cdots (4)$ 이다. 

자 이제 식 (1) 의 양변을 제곱해 보자. $\{f'(x)\}^2 = 4-2f(x) \;\;\; \cdots (5)$ (나) 조건에 의하여 식 (1) 역시 모든 실수 $x$ 에 대하여 성립한다. 즉, $x \le b$ 일 때도 성립한다는 뜻이 된다. $x \le b$ 일 때, $f(x) = a(x-b)^2 +c$ 이고 $f'(x) = 2a(x-b)$ 이므로 이를 식 (5)에 대입하면 $4a^2(x-b)^2 = 4-2a(x-b)^2-2c$ 이고 이를 정리하면 $a(2a+1)(x-b)^2 = 2-c$ 가 된다. 위 식이 $x \le b$ 인 모든 실수 $x$ 에 대해서 성립하는 항등식이 되어야 하므로 $c=2$ 가 되어야 하고, $a=0$ 또는 $a=-\dfrac{1}{2}$ 가 되어야 한다. 

자 이제 $b<0$ 인 경우와 $b \ge 0$ 인 경우로 나누어 생각해 보자.

$b<0$ 인 경우 $a=0$ 이든 $a=-\dfrac{1}{2}$ 이든 관계없이 $f(b)=2$ 가 되고, 식 (4)에 의하여  $x>b$ 일 때는 $f(x) \ge 2$ 가 되어야 한다. 이 경우 $f(0)=0$ 일 수 없다. 따라서 $b \ge 0$ 이 되어야 한다.

그렇다면 이번에는 $b \ge 0$ 인 상황에서 $a=0$ 일 때와 $a=-\dfrac{1}{2}$ 인 경우로 나누어 생각해 보자.

$a=0$ 인 경우 $x \le b$ 일 때 $f(x)=2$ 가 되고, 식 (2)에의하여 $f(0)=0$ 이어야 하는데, $f(0)=2$ 가 되므로 모순이다. 따라서 $a=-\dfrac{1}{2}$ 가 된다.

$a=-\dfrac{1}{2}, \; b \ge 0, \; c=2$ 인 상황에서 $f(0)=0$ 이 되어야 하므로 

$f(x)=-\dfrac{1}{2} (x-b)^2+2 \; \; (x \le b)$ 에 $x=0$을 대입하면 $0=-\dfrac{1}{2}b^2+2$ 이므로 $b=2$ 가 된다. 

따라서 $x \le 2$ 일 때, $f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2$ 가 된다. 또한 $x > 2$ 일 때는 식 (4)에 의하여 $f(x) \ge 2$ 가 되어야 하고, 식 (3)에 의하여 $f(x) \le 2$ 가 되어야 하므로 $f(x)=2$ 가 된다.  따라서 함수 $f(x)$ 는 다음과 같은 함수가 된다. $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{-\dfrac{1}{2}(x-2)^2 +2}&{\left( {  x \le 2} \right)}\\{2}&{\left( { x > 2 } \right)}\end{array}} \right.$   

따라서 $\begin{aligned} \displaystyle \int _0 ^6 f(x) \; dx &= \int _0 ^2 -\dfrac{1}{2} (x-2)^2 +2 \; dx + \int _2 ^6 2 \;dx  \\ &= \left [ -\dfrac{1}{6} (x-2)^3 +2x \right ]  _{\,0} ^{\,2} +  \left [ 2x \right ] _{\,2}^{\,6}  \\ & = \left (4-\dfrac{4}{3} \right ) + (12 - 4) \\ &= \dfrac{8}{3} + \dfrac{24}{3} \\ &= \dfrac{32}{3} \end{aligned}$

가 되고, 이때 $p=3, \; q=32$ 가 되어 $p+q=35$ 가 된다.