(가) $x \le b$ 일 때, $f(x)=a(x-b)^2+c$ 이다. (단, $a, \;b,\; c$ 는 상수이다.)
(나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)= {\displaystyle \int _0 ^x} \sqrt{4-2f(t)} \; dt$ 이다.
$\displaystyle \int _0 ^6 f(x) \; dx = \dfrac{q}{p} $ 일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)
정답 35
\(f(x) = \displaystyle \int _0 ^x \sqrt{4-2f(t)} \; dt\) 와 같은 조건이 주어지면 우리가 해야할 것은 두 가지다.
첫 째, 양변을 \(x\)에 대하여 미분하는 것이고,
둘 째, 정적분의 아랫끝과 같은 값을 \(x\)에 대입하는 것이다.
양변을 \(x\) 에 대하여 미분하면 $$f'(x) = \sqrt{4-2f(x)}\;\;\; \cdots (1)$$ 이고 \(x=0\) 을 대입하면 $$f(0)=0 \;\;\; \cdots (2)$$ 이다.
식 (1) 을 보면 우변에 루트기호가 등장하는 것을 볼 수 있다. 이 경우 머릿속에 떠 올려야 할 것은 또 두 가지이다.
첫 째, 루트 안이 \(0\) 보다 크거나 같아야 하는 것이고,
둘 째, 좌변 역시 \(0\) 보다 크거나 같아야 하는 것이다.
이 두 가지로부터 얻을 수 있는 것은 \[f(x) \le 2 \;\;\; \cdots (3)\] \[f'(x) \ge 0 \;\;\; \cdots (4)\] 이다.
자 이제 식 (1) 의 양변을 제곱해 보자. \[ \{f'(x)\}^2 = 4-2f(x) \;\;\; \cdots (5)\] (나) 조건에 의하여 식 (1) 역시 모든 실수 \(x\) 에 대하여 성립한다. 즉, \(x \le b\) 일 때도 성립한다는 뜻이 된다. \(x \le b\) 일 때, \(f(x) = a(x-b)^2 +c\) 이고 \(f'(x) = 2a(x-b)\) 이므로 이를 식 (5)에 대입하면 \[4a^2(x-b)^2 = 4-2a(x-b)^2-2c\] 이고 이를 정리하면 \[a(2a+1)(x-b)^2 = 2-c\] 가 된다. 위 식이 \(x \le b\) 인 모든 실수 \(x\) 에 대해서 성립하는 항등식이 되어야 하므로 \(c=2\) 가 되어야 하고, \(a=0\) 또는 \(a=-\dfrac{1}{2}\) 가 되어야 한다.
자 이제 \(b<0\) 인 경우와 \(b \ge 0\) 인 경우로 나누어 생각해 보자.
\(b<0\) 인 경우 \(a=0\) 이든 \(a=-\dfrac{1}{2}\) 이든 관계없이 \(f(b)=2\) 가 되고, 식 (4)에 의하여 \(x>b\) 일 때는 \(f(x) \ge 2\) 가 되어야 한다. 이 경우 \(f(0)=0\) 일 수 없다. 따라서 \(b \ge 0\) 이 되어야 한다.
그렇다면 이번에는 \(b \ge 0\) 인 상황에서 \(a=0\) 일 때와 \(a=-\dfrac{1}{2}\) 인 경우로 나누어 생각해 보자.
\(a=0\) 인 경우 \(x \le b\) 일 때 \(f(x)=2\) 가 되고, 식 (2)에의하여 \(f(0)=0\) 이어야 하는데, \(f(0)=2\) 가 되므로 모순이다. 따라서 \(a=-\dfrac{1}{2}\) 가 된다.
\(a=-\dfrac{1}{2}, \; b \ge 0, \; c=2\) 인 상황에서 \(f(0)=0\) 이 되어야 하므로
\[f(x)=-\dfrac{1}{2} (x-b)^2+2 \; \; (x \le b) \] 에 \(x=0\)을 대입하면 \[0=-\dfrac{1}{2}b^2+2\] 이므로 \(b=2\) 가 된다.
따라서 \(x \le 2\) 일 때, \(f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2 \) 가 된다. 또한 \(x > 2\) 일 때는 식 (4)에 의하여 \(f(x) \ge 2\) 가 되어야 하고, 식 (3)에 의하여 \(f(x) \le 2\) 가 되어야 하므로 \(f(x)=2\) 가 된다. 따라서 함수 \(f(x)\) 는 다음과 같은 함수가 된다. \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{-\dfrac{1}{2}(x-2)^2 +2}&{\left( { x \le 2} \right)}\\{2}&{\left( { x > 2 } \right)}\end{array}} \right.\]
