적분과 통계_무한급수와 정적분의 관계_난이도 중

그림과 같이 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\) 이고, 반지름의 길이가 \(8\) 인 부채꼴 \(\rm OAB\) 가 있다. \(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 호 \(\rm AB\) 를 \(n\) 등분한 각 분점을 점 \(\rm A\) 에서 가까운 것부터 차례로 \(\rm P_1 , \; P_2, \; P_3 , \; \cdots , \; P_{\it k}\) 이라 하자. \( 1 \le k \le n-1\) 인 자연수 \(k\) 에 대하여 점 \(\rm B\) 에서 선분 \(\rm OP_{\it k}\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm Q_{\it k}\) 라 하고, 삼각형 \(\rm OQ_{\it k}B\) 의 넓이를 \(S_k\) 라 하자. \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n-1} S_k = \dfrac{\alpha}{\pi}\) 일 때, \(\alpha\) 의 값을 구하시오. 

정답 \(32\)