수학1_수열_수학적 귀납법_괄호 채우기_난이도 중

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 등식 \[\sum \limits_{k=1}^n (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{n} \right ) = \dfrac{n(n+5)}{2}\] 가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

 

(i) \(n=1\) 일 때, (좌변)=\(3\), (우변)=\(3\) 이므로 주어진 등식이 성립한다.

(ii) \(n=m\;(n \geq 1)\) 일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 \[\sum \limits_{k=1}^m (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{m} \right ) = \dfrac{m(m+5)}{2}\]

     \(n=m+1\) 일 때

        \(\sum \limits_{k=1}^{m+1} (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{m+1} \right )\)

        \(=\sum \limits_{k=1}^{m} (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{m+1} \right ) + (가)\)

        \(=\sum \limits_{k=1}^{m} (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{m} \right )\)

                                                                           \(+ \dfrac{1}{(나)} \sum \limits_{k=1}^{m} (2k+1) + (가)\)

        \(=\sum \limits_{k=1}^{m} (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{m} \right )\)

                                                                           \(+ \dfrac{1}{(나)} \sum \limits_{k=1}^{m+1}( (가) )\)

        \(=\dfrac{(m+1)(m+6)}{2}\)

즉, \(n=m+1\) 일 때도 주어진 등식이 성립한다.

따라서, 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

 

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 \(f(m), \; g(m), \; h(k)\)라 할 때, \(f(3) \cdot g(3) \cdot h(3)\) 의 값은?

 

① \(54\)          ② \(63\)          ③ \(72\)          ④ \(81\)          ⑤ \(90\)

 

 

정답 ②