수학1_수열_수학적 귀납법_난이도 중

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 부등식 $(n-1) \cdot 2^n +3^n \geq 3n \cdot 2^{n-1} \;\;\; \cdots \cdots (*)$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

 

i) $n=1$ 일 때,

        $0 \cdot 2^1 + 3^1 \geq 3 \cdot 1 \cdot 2^0$

   이므로 부등식 $(*)$ 이 성립한다.  

ii) $n=k$ ($k$ 는 자연수) 일 때, 부등식 $(*)$ 이 성립한다고 가정하면

        $(k-1)\cdot 2^k + 3^k \geq 3k \cdot 2^{k-1} \cdots \cdots$㉠

    ㉠의 양변에 $2$ 를 곱한 후 $(가)$ 를 더하고 $2 \cdot 3^k$ 을 빼면

        $k \cdot 2^{k+1} + 3{k+1} \geq 3k \cdot 2\cdot 2^{k-1}$

    한편,

        $\left (3k \cdot 2^k + (가) - 2\cdot 3^k \right )-  (나)$

        $=(2-3) \cdot (다) >0$

    이므로 $n=k+1$ 일 때, 부등식 $(*)$ 이 성립한다.

따라서 i), ii) 에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 부등식 $(*)$ 이 성립한다.

 

위의 과저에서 (가)에 알맞은 식을 $f(k)$, (다) 에 알맞은 식을 $g(k)$ 라 할 때, $f(1)-g(1)$ 의 값은?

 

① $10$          ② $12$          ③ $14$          ④ $16$          ⑤ $18$

 

 

정답 ③