수학1_수열_수학적 귀납법_난이도 중

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 부등식 \[ (n-1) \cdot 2^n +3^n \geq 3n \cdot 2^{n-1} \;\;\; \cdots \cdots (*) \] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

 

i) \(n=1\) 일 때,

        \(0 \cdot 2^1 + 3^1 \geq 3 \cdot 1 \cdot 2^0\)

   이므로 부등식 \((*)\) 이 성립한다.  

ii) \(n=k\) (\(k\) 는 자연수) 일 때, 부등식 \((*)\) 이 성립한다고 가정하면

        \((k-1)\cdot 2^k + 3^k \geq 3k \cdot 2^{k-1} \cdots \cdots\)㉠

    ㉠의 양변에 \(2\) 를 곱한 후 \((가)\) 를 더하고 \(2 \cdot 3^k \) 을 빼면

        \(k \cdot 2^{k+1} + 3{k+1} \geq 3k \cdot 2\cdot 2^{k-1}\)

    한편,

        \(\left (3k \cdot 2^k + (가) - 2\cdot 3^k \right )-  (나) \)

        \(=(2-3) \cdot (다) >0\)

    이므로 \(n=k+1\) 일 때, 부등식 \((*)\) 이 성립한다.

따라서 i), ii) 에 의하여 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 부등식 \((*)\) 이 성립한다.

 

위의 과저에서 (가)에 알맞은 식을 \(f(k)\), (다) 에 알맞은 식을 \(g(k)\) 라 할 때, \(f(1)-g(1)\) 의 값은?

 

① \(10\)          ② \(12\)          ③ \(14\)          ④ \(16\)          ⑤ \(18\)

 

 

정답 ③